در شکل مقابل $DE \parallel BC$.
الف) تناسب قضیهٔ تالس را بنویسید.
ب) به کمک ترکیب نسبت در مخرج تناسب، $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ را نتیجه بگیرید.
پ) به کمک تفضیل نسبت در صورت از تناسب به دست آمده در (ب)، تناسب $\frac{DB}{AB} = \frac{EC}{AC}$ را نتیجه بگیرید.
توجه کنید که تناسب‌های به دست آمده در (ب) و (پ) صورت‌های دیگر قضیهٔ تالس‌اند.
پاره‌خط $DE$ موازی ضلع $BC$ در مثلث $\triangle ABC$ است ($DE \parallel BC$).
## الف) تناسب قضیهٔ تالس
طبق قضیهٔ تالس، پاره‌خط موازی دو ضلع دیگر را به یک نسبت تقسیم می‌کند:
$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$$
---
## ب) ترکیب نسبت در مخرج
برای نتیجه‌گیری $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$، ابتدا $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ را معکوس می‌کنیم (معکوس کردن تناسب):
$$\frac{DB}{AD} = \frac{EC}{AE}$$
سپس، از **ترکیب نسبت در صورت با مخرج** استفاده می‌کنیم: $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
در اینجا، از $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ به $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ می‌رسیم:
$$\frac{DB + AD}{AD} = \frac{EC + AE}{AE}$$
$$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$$
با معکوس کردن دوبارهٔ تناسب، به نتیجهٔ مطلوب می‌رسیم:
$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$$
---
## پ) تفضیل نسبت در صورت
برای نتیجه‌گیری $\frac{DB}{AB} = \frac{EC}{AC}$، از تناسب به دست آمده در قسمت (ب) استفاده می‌کنیم:
$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$$
از هر دو طرف تساوی، $1$ را کم می‌کنیم:
$$1 - \frac{AD}{AB} = 1 - \frac{AE}{AC}$$
$$\frac{AB - AD}{AB} = \frac{AC - AE}{AC}$$
با توجه به اینکه $AB - AD = DB$ و $AC - AE = EC$:
$$\frac{DB}{AB} = \frac{EC}{AC}$$
در مثلث $ABC$، پاره‌خط $DE$ موازی ضلع $BC$ است. ابتدا تناسب قضیهٔ تالس را بنویسید. سپس با توجه به ویژگی‌های تناسب و تکمیل تساوی‌های زیر، تناسب‌های دیگری را از قضیهٔ تالس نتیجه بگیرید:
$$\frac{AD}{DB} = \dots \Rightarrow \begin{cases} \frac{DB}{DA} = \dots \quad \frac{BD}{BA} = \dots \\ \frac{AB}{AD} = \dots \quad \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \dots \end{cases}$$
پاره‌خط $DE$ موازی ضلع $BC$ در مثلث $\triangle ABC$ است ($DE \parallel BC$).
**تناسب اصلی قضیهٔ تالس**:
$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$$
**استنتاج تناسب‌های دیگر (با استفاده از خواص تناسب)**:
1. **معکوس کردن تناسب**:
$$\frac{DB}{AD} = \frac{\mathbf{EC}}{\mathbf{AE}}$$
2. **ترکیب نسبت در مخرج (از $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$)**:
$$\frac{AD + DB}{DB} = \frac{AE + EC}{EC} \Rightarrow \frac{AB}{DB} = \frac{AC}{EC}$$
$$\Rightarrow \frac{DB}{AB} = \frac{EC}{AC}$$
3. **ترکیب نسبت در مخرج (معکوس)**:
$$\frac{AD + DB}{AD} = \frac{AE + EC}{AE} \Rightarrow \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$$
$$\Rightarrow \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$$
**تکمیل تساوی‌های زیر**:
$$\frac{AD}{DB} = \frac{\mathbf{AE}}{\mathbf{EC}} \Rightarrow \begin{cases} \frac{DB}{AD} = \mathbf{\frac{EC}{AE}} \\ \frac{AB}{DB} = \mathbf{\frac{AC}{EC}} \\ \frac{AD}{AB} = \mathbf{\frac{AE}{AC}} \end{cases}$$
در شکل پاره‌خط‌های $GH$ و $BC$ موازی‌اند. اندازهٔ پاره‌خط‌های $AC$ و $HC$ را به دست آورید.
پاره‌خط $GH$ موازی ضلع $BC$ در مثلث $\triangle ABC$ است ($GH \parallel BC$).
اندازه‌های داده شده: $AG = 2, GB = 5, AH = 3$.
## ۱. محاسبهٔ طول $HC$
طبق قضیهٔ تالس:
$$\frac{AG}{GB} = \frac{AH}{HC}$$
$$\frac{2}{5} = \frac{3}{HC}$$
با طرفین وسطین:
$$2 \times HC = 5 \times 3$$
$$2 \times HC = 15 \Rightarrow HC = \frac{15}{2} = 7.5$$
$$\text{طول } HC: 7.5$$
---
## ۲. محاسبهٔ طول $AC$
طول $AC$ برابر با مجموع طول‌های $AH$ و $HC$ است:
$$AC = AH + HC = 3 + 7.5 = 10.5$$
$$\text{طول } AC: 10.5$$
*(اندازه‌های دیگر: $AB = AG + GB = 2 + 5 = 7$)*
با تشکیل یک معادله، مقدار $x$ و اندازهٔ پاره‌خط‌های $AI$ و $AJ$ را به دست آورید.
در مثلث $\triangle ABC$، پاره‌خط $IJ$ موازی ضلع $BC$ است ($IJ \parallel BC$).
اندازه‌های داده شده: $AI = 2x, IB = 5, AJ = x + 4, JC = 7.5$.
## ۱. تشکیل معادله برای $x$
طبق قضیهٔ تالس:
$$\frac{AI}{IB} = \frac{AJ}{JC}$$
$$\frac{2x}{5} = \frac{x + 4}{7.5}$$
با طرفین وسطین:
$$7.5 \times (2x) = 5 \times (x + 4)$$
$$15x = 5x + 20$$
$$15x - 5x = 20$$
$$10x = 20 \Rightarrow x = 2$$
$$\text{مقدار } x: 2$$
---
## ۲. محاسبهٔ طول پاره‌خط‌های $AI$ و $AJ$
با جایگذاری $x = 2$ در عبارات داده شده:
* **طول $AI$**:
$$AI = 2x = 2(2) = 4$$
* **طول $AJ$**:
$$AJ = x + 4 = 2 + 4 = 6$$
$$\text{طول } AI: 4 \quad \text{طول } AJ: 6$$
*(برای کنترل: $\frac{AI}{IB} = \frac{4}{5} = 0.8$ و $\frac{AJ}{JC} = \frac{6}{7.5} = 0.8$. تساوی برقرار است.)*
در شکل پاره‌خط‌های $DE$ و $BC$ موازی‌اند.
الف) با توجه به قضیهٔ تالس داریم: $\frac{AD}{AB} = \dots$
ب) پاره‌خط $EF$ را موازی $AB$ رسم می‌کنیم. بنابراین داریم: $\frac{BF}{BC} = \dots$
پ) با توجه به قسمت‌های (الف) و (ب) داریم: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{\dots}{\dots}$
ت) چهارضلعی $DEFB$ چه نوع چهارضلعی‌ای است؟
$$\text{بنابراین } BF = \text{کدام پاره‌خط است؟ } \dots$$
ث) با توجه به قسمت‌های (پ) و (ت) داریم: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{\dots}{\dots}$
این رابطه تعمیم قضیهٔ تالس است.
در مثلث $\triangle ABC$، پاره‌خط $DE \parallel BC$ است.
## الف) قضیهٔ تالس (صورت ترکیب نسبت)
صورت دیگر قضیهٔ تالس (صورت ترکیب نسبت در مخرج):
$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$$
---
## ب) کاربرد تالس در $\triangle ABC$ با خط $EF \parallel AB$
پاره‌خط $EF$ موازی $AB$ رسم می‌شود. در مثلث $\triangle ABC$ با خط $EF \parallel AB$:
$$\frac{BF}{BC} = \frac{AE}{AC}$$
---
## پ) ترکیب نتایج (الف) و (ب)
با توجه به اینکه $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ و $\frac{BF}{BC} = \frac{AE}{AC}$، از ترکیب این تساوی‌ها با یکدیگر داریم:
$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{\mathbf{BF}}{\mathbf{BC}}$$
(توجه: صورت سؤال اشتباهاً $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{BC}{BF}$ را درخواست کرده که نادرست است؛ $\frac{BF}{BC}$ صحیح است.)
---
## ت) نوع چهارضلعی $DEFB$
در چهارضلعی $DEFB$:
* $DE \parallel BF$ (زیرا $DE \parallel BC$)
* $DB \parallel EF$ (زیرا $EF \parallel AB$)
چون اضلاع روبه‌رو دو به دو موازی‌اند، $DEFB$ یک **متوازی‌الاضلاع** است.
در متوازی‌الاضلاع، اضلاع روبه‌رو برابرند. بنابراین $BF$ برابر با ضلع روبه‌رویش $DE$ است.
$$\text{نوع چهارضلعی}: \text{متوازی‌الاضلاع}$$
$$\text{بنابراین } BF = \mathbf{DE}$$
---
## ث) تعمیم قضیهٔ تالس
با جایگذاری $BF = DE$ در نتیجهٔ قسمت (پ) (که $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{BF}{BC}$ بود)، تعمیم قضیهٔ تالس به دست می‌آید:
$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{\mathbf{DE}}{\mathbf{BC}}$$
این رابطه نشان می‌دهد که نسبت پاره‌خط‌های ایجاد شده روی ساق‌ها با نسبت پاره‌خط موازی و ضلع موازی نیز برابر است.
